Un error histórico (matemático)

La polisemia es un fenómeno lingüístico que sucede cuando una palabra tiene varios significados. Y entonces hay que mirar el contexto para averiguar qué se quiere decir con ella. Pero la polisemia también en un fenómeno matemático. Y también hay que mirar el contexto. Aunque es increíble que en matemáticas haya polisemia. Tan ordenadita que se considera a ese campo del saber…

Y tú dirás: “bueno, pero seguro que será algo sin importancia, o poco frecuente…”. Pues no. La polisemia, en matemáticas, afecta a algo muy gordo. Sumar y restar, por un lado, y el signo de los números enteros por el otro. Algo fundamental que trae de cabeza a muchos alumnos y alumnas.

Y es algo muy grave, porque puedes confundir un verbo con un adverbio…

No,no, decididamente, algún matemático (yo no sé quién fue) metió una pata muy gorda que con los años nos ha causado molestias a todos los científicos. Porque las matemáticas son el lenguaje de la ciencia.

Reglas matemáticas
Fuente: Interlink Headline News 2.0

Resulta que sumar (o restar) es un verbo, claro. Poner, quitar, crecer, reducir, añadir, disminuir, subir, bajar, adelantar, retrasar… Todas ellas son acciones asociadas con “sumar” y “restar”. Todas ellas son acciones asociadas a los signos “+” y “-“.

Pero resulta que más (o menos) es un adverbio. Un tipo de palabra completamente distinta al verbo. Arriba, abajo, delante, detrás, antes, después, izquierda, derecha… Todas ellas son modificadores (hacia dónde, cuándo) relacionados con “más” o “menos”. Y también todas ellas son palabras asociadas a los signos “+” y “-“.

Mmmm… No, no es una buena idea que dos cosas distintas sean representadas por el mismo símbolo. Porque el alumnado puede confundir +7 con +7. ¿Parecen iguales? Pues sí, sí. Pero uno quiere decir “suma 7 (o gana, o pon, o crece…)” y otro quiere decir “7 hacia la derecha (o hacia arriba, o hacia el frente, o hacia el futuro…)”. No, no son lo mismo. Aunque lo parezcan.

Y es que si es “sumar 7”, el + no forma parte del número. Dice qué hace el número, pero no forma parte de él. Pero si es “más siete”, el signo forma parte del número. No le puedes quitar el signo a un número por la misma razón que no le puedes quitar la parte alta horizontal al siete. El signo forma parte del número en ese caso.

¿Qué han hecho los matemáticos para reparar el problema? Pues no mucho. Podrían haber inventado signos nuevos, que aclararan la situación. Pero en vez de eso la dieron por buena. Porque ellos saben distinguir entre signo y operación. Eso sí, cuando tienen dudas, usan los paréntesis. La operación va fuera del paréntesis y el signo dentro. Y como ellos trabajan sobre una recta, la recta de los números, pues ocurre que +(-7), que se lee “poner siete a la izquierda” da el mismo resultado que -(+7), que se lee “quitar siete de la derecha”. Es decir, para un matemático, esta polisemia, realmente, no tiene gran importancia.

Pero para una célula no es lo mismo “poner siete a la izquierda” que “quitar siete a la derecha”.

Si las matemáticas son la lengua de la ciencia, no deberían ser polisémicas. No en algo tan básico. Pero ya no tiene arreglo…

Ojala alguien hubiera pensado en esto hace ya siglos, cuando se formalizaron los números enteros como entidades matemáticas… Mi alumnado se habría evitado problemas y rechazo hacia ese saber tan necesario… Y esa fastidiosa regla de “más por más, más; más por menos, menos…” para averiguar qué significa +(-7) sin comprenderlo realmente.

21 Replies to “Un error histórico (matemático)”

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  2. Víctor R.

    Totalmente de acuerdo. Justamente hace unos días me surgió este problema con algunos alumnos en 2º ESO y ciertamente no es un problema menor, aunque al final se resuelve con la práctica. Tengo que comentarlo con los matemáticos, a ver qué me dicen (que yo doy las matemáticas desde hace años, pero soy de químicas)

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola Víctor!

      El problema está en que los matemáticos te van a hablar de matemáticas. Y, para ellos, esa notación es perfectamente natural, normal, adecuada. Pero otra historia es cuando la matemática se trata de aplicar a nuevos contextos…

      ¡Un saludo y gracias por pasar! 🙂

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola Alejandro!

      Muchísimas gracias! 🙂 La verdad es que los matemáticos son una gente peculiar. Agradables todos los que he conocido, eh? Incluso mis antiguos profesores. Pero peculiar. En el sentido de que viven en una casa y les encanta recibir visitas. Pero no les gusta ir de visita a otras casas. 😉 Y es curioso para una rama del saber que es el lenguaje de la ciencia. Las conversaciones que ha generado el post en mi entorno de amigos matemáticos siempre terminan en cuestiones internas (acerca de la naturaleza de los números, o su diversidad, p.ej.), no en cuestiones interdisciplinares. Todo lo más que les he podido sacar es un “¡Hombre, visto así…”, insistiendo en que para una célula no es lo mismo “poner siete a la izquierda +(-7)” no es lo mismo que “quitar siete de la derecha -(+7)”. No creo que tengan conciencia plena de que ellos trabajan en una filología (científica, pero filología) que usan otros. Aunque hay que reconocerles que son tremendamente acogedores y pacientes a la hora de explicarse.

      ¡Un saludo, compañero! Y gracias por pasar… 🙂

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  3. PonC

    Existen varios ejemplos de esto, en electrónica ocurre que los griegos pensaban que las cargas eléctricas se movían del potencial positivo al negativo, y así el sentido de la corriente eléctrica siempre se ha representado como flechas que van del positivo al negativo, sin embargo sabemos que esto no es así, pues los portadores de carga (electrones) se mueven del potencial negativo al positivo, lo que obliga a diferenciar entre corriente “real” y corriente teórica. Un quebradero de cabeza, sobre todo para estudiantes, que debería haberse solucionado tiempo ha.

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola PonC!

      Totalmente de acuerdo. Y no debería ser un problema tan grave, creo. Basta con cambiar la notación. No invertirla, no… Me refiero a crear símbolos nuevos. La formulación química ha podido mutar en el plazo de unos pocos años gracias a la insistencia de la IUPAC. Debería ser posible inventar algún simbolito nuevo para esas características polisémicas, en las que “+” y “-” lían tanto a la gente.

      ¡Un saludo!

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  4. Luis Miguel Iglesias Albarrán

    Muy buen artículo, amigo José Luis.

    Efectivamente, “es un follón para [email protected] [email protected]” y para eso existen profes tan buenos como tú, para intentar aclarárselo y al, menos, ayudarles a amortiguar el golpe, “el shock” que supone esta ambiguedad, llamémosla así del lenguaje.

    Fíjate, la importancia que tiene un mal diseño, un error grave en la fase de cimientos …

    El debate en cuanto al lenguaje y la formalización matemática fue abierto hace varios siglos, pero nadie, ha sido capaz de cerrarlo.

    Para concluir, voy a tirar una lanza en favor de la ciencia madre. Fíjate, si ella está enfollonada y es la que está más ordenada y la que ha sido incontestable durante siglos, imagina como estará lo demás … Mejor no mirar…

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola Luismi!

      Es completamente cierto lo que dices. Si hay una rama del saber que se ha preocupado por el lenguaje, más incluso que la Lengua, es la Matemática. No me canso de contarle al alumnado que matemáticas es, en el fondo, filología. Que tienen que hablar en “matemático” y que no es un idioma tan complicado. Y les gusta más cuando aparece la geometría. El álgebra… ay el álgebra… Pero la geometría sí. Y todo lo relacionado con vectores (¿el puente entre álgebra y geometría?).

      Estoy completamente de acuerdo contigo. Ninguna otra ciencia ha realizado, sobre el lenguaje, los esfuerzos que ha realizado la matemática. A pesar de alguna falla estructural, como la polisemia de los signos “+” y “-“.

      ¡Un abrazo grande a la espera de desvirtualizar! 🙂

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  5. josejavier

    Espero que alguien me responda si “raiz cuadrada de -1”, aparte de la consabida “i” pudiera tener solución en algun sistema matemático diferente.

    O, quizas, la tenga en un sistema energetico-material distinto al nuestro…

    Quizas…quizas……

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola José Javier!

      ¡Claro que te respondo! No tengo ni la más mínima idea… Que también es una respuesta. Eso sí, si lo que me pides es un sí o un no, y además razonados, pues lo siento, pero soy incapaz… No estoy seguro de que exista un sistema que incluya la operación inversa del elevar al cuadrado y números enteros, de tal modo que eso tenga solución. Espero que alguien te pueda ayudar más que yo.

      ¡Un saludo! 🙂

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  6. vicent

    Bueno hay una cosa que ayuda mucho: si el signo es operación siempre va entre dos números, por definición, no podemos operar con un sólo número

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola Vicent!

      Gusto en verte… 🙂 En realidad, eso que dices corresponde a los números naturales. Los números enteros siempre llevan signo. Otra cuestión es que se omita algunas veces, lo cual lía aún más al alumnado. En las operaciones con números enteros suelen convivir ambos tipos de signos, el de operación y el asociado al número entero.

      ¡Un saludo!

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  8. ecam

    Però hay una diferencia entre los dos significados que permite distinguir-los sin problema: sumar/restar es una operación binaria (necesito un número a cada lado del +/-) mientras que el signo afecta solo a un número (a la derecha del símbolo +/-).
    Siento discrepar, pero me cuesta ver dónde puede haber confusión.

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    • José Luis Castillo

      ¡Hola Ecam!

      Pues precisamente lo dices tú! 🙂 Indicas que el signo ha de interpretarse en función del contexto. Luego hay polisemia. Que era de lo que yo hablaba.

      La experiencia de aula sugiere que el alumnado tiene enormes dificultades en matemáticas, entre otras cosas, por el hecho de que el signo signifique, en unas ocasiones operación y en otras un número entero. ¿No crees que sería todo más sencillo si no hubiera que interpretar el signo en función de su contexto, como bien indicas?

      ¡Un saludo!

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  10. JJ

    …o, no es una buena idea que dos cosas distintas sean representadas por el mismo símbolo…

    Pero precisamente porque la relación entre esos dos significados del símbolo es tan obvia y fuerte, tenemos que utilizar el mismo. Imagina qué sucedería si el símbolo fuese distinto, por un momento.
    Además, estoy convencido de que si no hay obstáculos , no puede haber aprendizaje, con lo que nuestro objetivo no es simplificar (léase desvirtuar) el contenido, sino intentar conseguir que nuestros alumnos lleguen a asimilarlo.
    Por otro lado, no estoy en absoluto de acuerdo en que a los matemáticos no les guste ir de visita. ¡Hay tantos ejemplos! Pero hoy quizás sea adecuado recordar a Benoit Mandelbrot, un ejemplo evidente.

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  11. Pedro Terán

    La verdad es que no creo que tengas ninguna razón.

    En el número 535, el signo “5” y el signo “5” significan cosas totalmente distintas, y nadie tiene ningún problema con ello. Así que la identificación de polisemia con problemas no es válida.

    Por otro lado, “+5” y “+5” significan lo mismo, ya que la estructura de los números enteros y la de las operaciones “sumar lo que diga el número” o “moverse en la recta” es completamente idéntica. Lo que procede es que la notación refleje esa “realidad profunda” y no que se haga en base a elucubraciones sobre si sumar es un verbo o un adverbio. Digo yo, vamos.

    Si te hiciéramos caso, también habría que usar símbolos distintos para sumar números naturales, o enteros, o reales, o vectores, porque son significados distintos del signo “+”. Pero sospecho que ahí lo que defenderás será lo contrario, que la polisemia es muy de agradecer.

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  12. ecam

    Ok, estoy de acuerdo en que hay polisemia. Y esta claro que los dos contextos pueden aparecer juntos (como por ejemplo si escribo -3+7).

    Aun asi, no se me ocurre una notación más adequada. Reflexionando un poco, los dos significados estan intimamente relacionados. Introducir dos símbolos nuevos obligaría luego a describir la relación entre símbolos.

    En cambio, con la notación habitual las relaciones son consecuencia de las propiedades de los numeros. Por ejemplo, “+ por – es +) se puede demostrar usando la propiedad distributiva.

    Saludos!

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  13. José Luis Castillo

    ¡Hola JJ, Pedro y Ecam!

    Aunque tenéis diversas visiones del tema, todos compartís la visión del problema desde el punto de vista de los matemáticos. Yo lo hago desde el punto de vista del usuario de la matemática. Son cosas completamente distintas.

    Mi planteamiento es que la matemática ya no pertenece a los matemáticos, sino que, al convertirse en el lenguaje de la ciencia y de mucha de la vida cotidiana, ojalá que se pudiera adaptar a esa situación. La lógica interna de lo matemático puede ser muy inadecuada para lo cotidiano o lo científico, creo.

    ¡Un saludo y gracias por pasar vuestro tiempo aquí! 🙂

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