Cómo comprender números muy grandes (o muy pequeños)

La principal dificultad de los alumnos que estudian Geología o que tienen que explicar un tema de Astronomía es el de usar cifras que no tienen nada que ver con nuestra experiencia cotidiana. Las cifras son demasiado grandes tanto en el tiempo como en la distancia.

Igual pasa con Biología Celular o Biología Molecular. O con Química cuando estudia el átomo. Sólo que lo difícil es comprender lo pequeñas que son las cifras.

Pero tenemos una herramienta: los cambios de escala.

A mí, los cambios de escala me gusta hacerlos mediante factores de conversión. Lo prefiero a las reglas de tres. Te cuento la técnica y los obstáculos que pueden surgir al resolver el problema.

La primera dificultad es distinguir los datos. En cambios de escala sólo pueden ser de dos tipos: o son datos reales o son datos de la escala. Te pongo un ejemplo.

  • Dos milímetros en un mapa. Ese es un dato de escala.
  • Dos milímetros en mi mesa. Ese es un dato real.

Fíjate bien, que es muy importante aclararse con los datos. Hay que saber cuál es real y cual es de escala. Aunque las dos cifras sean iguales no significan lo mismo.

Como en Barrio Sésamo, te lo repito: dato real, dato de escala, dato real, dato de escala, dato real, dato de escala…

La segunda dificultad es establecer la escala. En muchas ocasiones te la dan en el problema. En otras depende de lo que quieras hacer. Te pongo dos ejemplos.

  • Si quieres comparar la edad de la Tierra con la vida de una persona, el dato real es 4.500 millones de años y el dato de la escala es 80 años.
  • Si quieres meter todo el mapa del mundo en un folio, pues tendrás que averiguar la longitud del ecuador (dato real) y compararlo con la longitud de un folio (dato de escala), que es de unos 27 cm.

La tercera dificultad es homegeneizar las unidades. En realidad eso es sencillo. Parece difícil porque he empleado la palabra homogeneizar. Pero sólo quiere decir que todos los datos reales tienen que estar en la misma unidad. Y hay que hacer de igual modo para los datos de escala.

¡Cuidado! No hay que confundir. Las unidades reales no tienen que ser las mismas de la escala. Te pongo dos ejemplos.

  • Supón que quiero comparar la edad de la Tierra con la edad de una persona promedio. Unos 80 años (que con esa cifra son más fáciles las operaciones). Aquí, ambas unidades, real y de escala, son las mismas.
  • Supón que quiero comparar la edad de la Tierra en un kilómetro para entenderla más fácil. Aquí, las unidades reales y las de la escala no son las mismas.

La cuarta dificultad es que me puedo plantear dos direcciones. Puedo querer pasar cifras reales a la escala. Y puedo querer pasar datos de la escala a cifras reales. Te pongo dos ejemplos.

  • Puedo querer pensar qué edad hubiera tenido la Tierra, si hubiera sido una persona, cuando desaparecieron los dinosaurios. Ese es un problema desde cifras reales hacia la escala. O también, un problema hacia dentro.
  • Puedo querer saber qué le paso a la Tierra cuando tenía el equivalente a 50 años de una persona. Ese es un problema desde la escala hacia las cifras reales. Un problema hacia fuera.

Lo bueno es que los dos ejemplos se resuelven casi de la misma manera. Con un pequeño cambio, que es lógico. Te lo cuento al final.

Si he comprendido bien estas dificultades, ya estoy preparado para resolver el problema. Ahora viene la técnica. Que es sencilla. En realidad, un cambio de escala son dos operaciones de porcentaje seguidas. Hacer porcentajes tiene una ventaja enorme. Permite comparar cosas diferentes. Está claro que 4.500 millones de años que tiene la Tierra no son los 80 años que tiene una persona. O que lo vieja que es la Tierra no es un kilómetro. Por eso es bueno usar porcentajes para realizar cambios de escala. Porque en los cambios de escala un dato se convierte en otro completamente distinto.

Y la técnica requiere ejecutar dos porcentajes seguidos. Uno para cada cifra, la real y otro para la cifra de la escala. Pero no vamos a dar nada por supuesto. Vamos a explicar también cómo se hace un porcentaje. Averiguar qué es un porcentaje consiste en una operación sencilla. De división. Hay que dividir la parte entre el todo. Así de fácil.

[tex]porcentaje=frac{parte}{todo}[/tex]

Lo vemos con un ejemplo.

  • La edad de la Tierra es de 4.500 millones de años. Ese es el todo. Y los dinosaurios desaparecieron cuando la Tierra llevaba existiendo 4.435 millones de años (hace 65). Esa es la parte. Bueno, pues sólo hay que dividir la parte entre el todo y se obtiene el porcentaje. Si lo haces en la calculadora obtienes 0,986.

Ahora que hemos logrado el primer porcentaje nos queda el segundo. El camino es distinto. Ahora tenemos un porcentaje (0,986) y un todo con el que relacionarlo (80 años). ¿Cómo calcular la parte? Fácil. Despejando en la ecuación de arriba.

[tex]parte=porcentajecdot{}todo[/tex]

Lo vemos también con el mismo ejemplo de antes.

  • Si el porcentaje era 0,986, sólo hay que multiplicarlo por el todo, que es 80, para obtener la parte. Y te sale 78,84 años. O sea, que la Tierra ya era bastante mayor cuando desaparecieron los dinosaurios.

Esto, tal y como te lo he explicado, queda largo. Se puede reducir. Como son dos operaciones, una de dividir y otra de multiplicar, se pueden combinar en una única fracción. Que se llama factor de conversión. En realidad hay dos factores de conversión. Uno para meter en la escala y otro para sacar de la escala. El de meter en la escala consiste en lo que ya lo hemos visto. Consiste en dividir entre el todo del dato real y multiplicar por el todo del dato de escala. En el factor de conversión opuesto, el de sacar de la escala, habría que hacer lo contrario. Dividir entre el todo del dato de la escala y multiplicar por el todo del dato real. Te dejo a ti razonar por qué hay que darle la vuelta. Si no lo averiguas, pregunta. Te aconsejo que inventes un problema y sigas los pasos anteriores para darte cuenta de qué ocurre. Si te equivocas te darás cuenta rápido porque te va a salir una cifra que es una barbaridad.

    [tex]textrm{Factor de entrada en la escala: }C(s) = frac{80}{4.500.000.000}[/tex]
    [tex]textrm{Factor de salida de la escala: }C(s) = frac{4.500.000.000}{80}[/tex]

Esos serían los dos factores de conversión de nuestro ejemplo, en el que hemos comparado la vida de una persona con la vida del planeta Tierra. También te dejo a ti la comparación de la vida de la Tierra con un kilómetro.

Los cambios de escala son útiles también para percibir relaciones que no son evidentes a primera vista. Te pongo dos ejemplos. El primero es la relación que hay entre la superficie del planeta y la población. Así obtendrías un mapa deformado, pero que te daría una idea de cómo está distribuida la población mundial.

Mapa de población

Este sería el resultado.

Extraño, ¿verdad?

Este mapa te puede dar una idea de qué pasaría si países como China o la India deciden consumir al mismo ritmo que los países occidentales ricos o que Japón.

También se puede hacer calculando las reservas petrolíferas.

Y te das cuenta de por qué lo que ocurra en Oriente Medio es importante para el mundo. O en Venezuela. O en Irán. O por qué Europa ha perdido influencia mundial a lo largo del siglo XX. O por qué la India no se dedica a fabricar cosas sino a ofrecer servicios económicos. O por qué Noruega no ha entrado en la UE. O por qué el crecimiento de EE.UU. es insostenible.

Reservas petról?feras

¿Se te ocurre algún ejemplo en el que sea útil un cambio de escala para entender mejor algo que te hayan explicado en clase?

3 Replies to “Cómo comprender números muy grandes (o muy pequeños)”

  1. gutavo

    Excelentes mapas, de donde los sacaste, dan una tremenda idea de lo que pasa.
    Habría que hacer algunos con PBI, consumo de energía, consumo de alimentos, producción de alimentos, producción de materias primas.

    Felicitaciones.

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  2. Pingback: Números muy, muy, muy pequeños

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